貢獻(xiàn)者： addis

預(yù)備知識(shí)求導(dǎo)法則

一個(gè)一元函數(shù) $y=f(x)$ 可導(dǎo)，如果導(dǎo)函數(shù) $y'=f'(x)$ 仍可導(dǎo)，則稱 $y'=f'(x)$ 的導(dǎo)數(shù)為函數(shù) $y=f(x)$ 的二階導(dǎo)數(shù)，記為

\begin{equation}y'',\quad f''(x),\quad \frac{ \,\mathrmff9w5zisdfi{^2y} }{ \,\mathrmff9w5zisdfi{x^2} },\quad \frac{ \,\mathrmff9w5zisdfi{^2f} }{ \,\mathrmff9w5zisdfi{x^2} },\quad y''(x)~,\end{equation}

即

\begin{equation}y''=(y')',\quad\frac{ \,\mathrmff9w5zisdfi{^2y} }{ \,\mathrmff9w5zisdfi{x^2} }= \frac{\mathrmff9w5zisdfi}{\mathrmff9w5zisdfi{x}} \left( \frac{\mathrmff9w5zisdfi{y}}{\mathrmff9w5zisdfi{x}} \right) ~.\end{equation}

由導(dǎo)數(shù)中的定義，可得二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式

\begin{equation}f''(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f'(x+ \Delta x)-f'(x)}{\Delta x}~.\end{equation}

若把 $y=f(x)$ 的導(dǎo)數(shù) $y'=f'(x)$ 稱為 $y=f(x)$ 的一階導(dǎo)數(shù)，那么，一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)就稱為二階導(dǎo)數(shù)。若二階導(dǎo)數(shù) $y''=f''(x)$ 仍然可導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)公式，我們就把二階導(dǎo)數(shù)的數(shù) $y''=f''(x)$ 的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)，記為

\begin{equation}y''',\quad f'''(x),\quad \frac{ \,\mathrmff9w5zisdfi{^3y} }{ \,\mathrmff9w5zisdfi{x^3} },\quad \frac{ \,\mathrmff9w5zisdfi{^3f} }{ \,\mathrmff9w5zisdfi{x^3} },\quad y'''(x)~.\end{equation}

一般地，如果 $y=f(x)$ 的 $n-1$ 階導(dǎo)數(shù)是可導(dǎo)的，我們就把 $n-1$ 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為果 $y=f(x)$ 的n 階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式，記為

\begin{equation}y^{(n)},\quad f^{(n)}(x),\quad \frac{ \,\mathrmff9w5zisdfi{^ny} }{ \,\mathrmff9w5zisdfi{x^n} },\quad \frac{ \,\mathrmff9w5zisdfi{^nf} }{ \,\mathrmff9w5zisdfi{x^n} },\quad y^{(n)}(x)~,\end{equation}

二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。利用求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則就可以求出高階導(dǎo)數(shù)。